Задачи и упражнения. 1. Построить выпуклую функцию, определённую на [0, 1], которая не имеет производной в

1. Построить выпуклую функцию, определённую на [0, 1], которая не имеет производной в бесконечном числе точек.

2. Следует ли из существования конечной производной по любому направлению дифференцируемость выпуклой функции? Рассмотреть пример

.

3. Вычислить производную по направлению p R2 в точке (0, 0) функции

. Показать, что в этой точке существует производная по любому направлению, однако функция не является непрерывной в данной точке. Почему такая ситуация невозможна для выпуклой функции?

Указание.

4. Привести пример функции, для которой субдифференциал в некоторой точке является пустым множеством.

5. Доказать, что субдифференциал f(x0) – выпуклое, замкнутое множество для любой точки x0 X.

6. Доказать, что если h(x) = αf(x), α > 0, то h(x) = α f(x) для х Х.

7. Доказать Задачи и упражнения. 1. Построить выпуклую функцию, определённую на [0, 1], которая не имеет производной в, что если f(x) = |h(x)|, x Rn, где h(x) – непрерывная функция и h(x) = 0, тогда нулевой вектор принадлежит f(a) (0 f(a)).

8. Пусть f – выпуклая функция на R, x0 int(dom f), f(x0) = {a}, где a R. Показать, что f дифференцируемая функция в точке x0 и f ’(x0) = a.

9. Пусть f: Rn R+ - собственная функция и f(x) для любого x dom f. Доказать, что f – выпуклая функция.

10. Найти субдифференциалы и производные по направлениям следующих функций:

а) f(x) = |x – 1| + |x + 1+, x R;

б) f(x) = max{x2, x + 2};

в) f(x) = max{2x – 3, 0.5x Задачи и упражнения. 1. Построить выпуклую функцию, определённую на [0, 1], которая не имеет производной в + 1, - x + 1};

г) f(x) = maxx – 1;

д) f(x) =

е) f(x) = |x1 + x2|, x R2;

ж) f(x1, x2) = |2x1 – 3x2|;

и*) f(x) =


documentamooinp.html
documentamoopxx.html
documentamooxif.html
documentamopesn.html
documentamopmcv.html
Документ Задачи и упражнения. 1. Построить выпуклую функцию, определённую на [0, 1], которая не имеет производной в